Les 23 problèmes de David Hilbert

Publié le par ERASME

Présentés lors du Congrès international de mathématiques qui s'est tenu à Paris en 1900, Les 23 problèmes de Hilbert font encore l'objet de recherches au 21è siècle.

Le Journal d'Erasme en présente ici les thèmes et invite ses lecteurs à prendre connaissance des éléments rassemblés sur le site http://serge.mehl.free.fr/anx/pb23_hilbert.html quant aux termes plus précis de leur problématique et à l'état de leur résolution.

1a - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor 1b - L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné (conjecture de Cantor, 1883). 

1b - oui si l'on admet l'axiome du choix, lequel lui est équivalent : Zermelo, 1904.

2 - Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires et, subséquemment, sont-ils indépendants ?

3 - La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?

4 - Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite.

5 - A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de transformations est-il un groupe de Lie ? Autrement dit, les conditions de différentiabilité sont-elles nécessaires ?

6 - Peut-on axiomatiser la physique ? cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).

7 - Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres, comme : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1, et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ?

8 - Prouver la conjecture de Riemann.

9 - Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique).

10 - Existe-t-il un algorithme universel permettant de conclure à l'existence de solutions d'une équation diophantienne ? En d'autres termes, existe-t-il un algorithme permettant de savoir si une équation en nombres entiers f(x1, . . . , xn) = 0 possède un nombre fini ou non de solutions dans Zn.

11 - Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques.

12 - Généralisation d'un théorème de Kronecker portant sur les corps algébriques.

13 - Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen de fonction de deux variables). Par exemple, une fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = f(g(x,y),k(y,z)). 

14 - Étude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait.

15 - Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie). Hermann Schubert (1848-1911), mathématicien allemand.

16 - Peut-on mettre en place une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces).

17 - Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?

18 - Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension finie comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (directement isométrique : image par déplacement) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.

19 - Les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont-elles nécessairement analytiques.

20 - Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).

21 - Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données.

22 - Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes).

23 - Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

Commenter cet article